sicntech123’s blog

プログラミング、数学、物理、制御など興味あることを雑記したいと思います。

数学的帰納法のメモ

数学的帰納法

例を示す。

(問題)

 a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n}  a_{1} = a_{2} = 1のとき、  a_{n} が整数であることを示せ。

(解答)

(Ⅰ) n=1,2のとき、

条件より、  a_{1} = a_{2} = 1であり、  a_{n} は整数である。

(Ⅱ) n=k, k+1のとき、

成り立つと仮定すると、

 
\begin{align}
a_{k}      &=&  m &(mは整数)\\
a_{k+1} &=&  l &(lは整数)\\
\end{align}

とおける。 これより、

 
\begin{align}
a_{k+2} &=&  a_{k+1} +& a_{k} \\
             &=&  m          +& l \\
\end{align}

となり、 n=k+2 のときも成り立つ。 (Ⅰ)、(Ⅱ)あわせて帰納法より証明終わり。