sicntech123’s blog

プログラミング、数学、物理、制御など興味あることを雑記したいと思います。

pythonの開発環境構築してみた

何から手を付ければよいのか？

とりあえず「windows python 開発環境」でググった。

qiita.com

ここの記事の情報量は私には丁度良かった。 ここに記載のある通りに実行した。 結局、"PyCharm"で開発するのが最強らしい。

qiita.com

「PyCharmの日本語化ってできひんのかな？」って思てググると

PyCharmの日本語化 ~ シミズさんのたわごと

これは失敗するとPyCharmが起動できなくなりますが、

こわっ。とりあえずやめとこ。英語のまんまでええわ。

てことで、なんか作りたいな。。。

とりあえず動くもの作りたい

書いてみた。 f:id:sicntech123:20180616232938p:plain

デバッグ。 f:id:sicntech123:20180616233004p:plain

よし。これからなんか作ってみよ。

数学的帰納法のメモ

数学的帰納法

例を示す。

（問題）

a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} 、 a_{1} = a_{2} = 1のとき、 a_{n} が整数であることを示せ。

（解答）

(Ⅰ) n=1,2のとき、

条件より、 a_{1} = a_{2} = 1であり、 a_{n} は整数である。

(Ⅱ) n=k, k+1のとき、

成り立つと仮定すると、

\begin{align} a_{k} &=& m &(mは整数)\\ a_{k+1} &=& l &(lは整数)\\ \end{align}

とおける。 これより、

\begin{align} a_{k+2} &=& a_{k+1} +& a_{k} \\ &=& m +& l \\ \end{align}

となり、 n=k+2 のときも成り立つ。 (Ⅰ)、(Ⅱ)あわせて帰納法より証明終わり。

cos(n pi)の使い方

偶奇によって振動する値を表現

したいときに使います。 数列の話。 「項数の偶奇によって振動する値」を表現するときに使います。

\begin{eqnarray} \cos(n\pi)=(-1)^n \\ \cos ( (n-1) \pi ) =(-1)^{(n-1)} \\ \end{eqnarray}

これの使い分けは「 nが奇数で正になり、 nが偶数で

例えば、

a^n = \begin{cases} 4 & (n：\mbox{偶数}) \\ 5 & (n：\mbox{奇数}) \\ \end{cases}

を表したいときに使う。

step1

振動させる項を作る。 もちろん

\cos(n\pi)=(-1)^n\\

を使う。 このとき、幅は2（-1,1を行ったり来たりするから）。

step2

幅を1にする。 これを1/2すればよいよね。

\cos(n\pi)/2=(-1)^n/2　\Longleftrightarrow　\frac{\cos(n\pi)}{2} = \frac{(-1)^n}{2} \\

これで-1/2と1/2を行き来するようになった。

step3

最後は4と5の間の数を中心として行き来するようにする。 4と5の間の数は

\frac{4+5}{2} = \frac{9}{2} \\

だから、これをstep2に加えればよい。 答えは以下となる。

\frac{9}{2} + \frac{(-1)^n}{2} \\

部分分数分解

部分分数分解と部分分数展開

なんかゲシュタルト崩壊しそうやな。。。 大学受験までは普通に「部分分数分解」なのに、大学入学するとこれまで「部分分数分解」として認識していたものが「部分分数展開」と呼ばれることがある。wikipedia先生によれば、

部分分数分解 - Wikipedia

有理式の部分分数分解と同様のことは有理型関数にも拡張される。一般に有理型関数の極は有限個とは限らないから、この分解は無限和すなわち、級数への展開となるので、これを部分分数への展開あるいは部分分数展開 (partial fraction expansion) と呼ぶことが多い。  

とのこと。級数への展開のときは「部分分数展開」と呼ぶようである。ただ、大学の先生は講義では意識せず「部分分数分解」のことを「部分分数展開」と発言していたことがしばしばあった。（大学生の時は「それは『部分分数分解』やろ！」と心の中で突っ込み、「まぁ大学生になると『部分分数展開』と呼ぶようになるんやな」と謎理論で納得していた）

ちなみに、部分分数分解はwikipedia先生によると、

部分分数分解（ぶぶんぶんすうぶんかい、partial fraction decomposition）とは、有理式（あるいは分数式ともいう、多項式の商で表される式のこと）に対し、その有理式の分母が互いに素な多項式の積で表されるとき、その有理式を多項式と複数の有理式（ただし、分子の次数は分母の次数より小さい）の和で表すことをいう。このとき分解された各々の有理式の分母を通分すれば、当然ながら元の有理式の分母となる。  

とのこと。

部分分数分解の例

\begin{align} \frac{1}{(n-1)n} &= \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\\ \frac{1}{n(n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{(n+1)}\\ \frac{1}{(n-1)(n+1)} &= \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right\} \\ \end{align}

基本的には、下のような認識で良い。

\begin{align} \frac{1}{(\mbox{小})(\mbox{大})} &= \frac{1}{\mbox{大} - \mbox{小}} \left\{ \frac{1}{\mbox{小}} - \frac{1}{\mbox{大}}\right\}　\\ \end{align}